LA MAGIA DEL NÚMERO ÁUREO

LA MAGIA DEL NÚMERO ÁUREO

Tomado del blog DUELO DE MAGOS

A LA DIVINA PROPORCIÓN

A ti, maravillosa disciplina,

media, extrema razón de la hermosura,

que claramente acata la clausura

viva en la malla de tu ley divina.

A ti, cárcel de la retina,

aúrea sección, celeste cuadratura,

misteriosa fontana de mesura

que el Universo armónico origina.

A ti, mar de los sueños angulares,

flor de las cinco formas regulares,

dodecaedro azul, arco sonoro.

Luces por alas un compás ardiente.

Tu canto es una esfera transparente.

A ti, divina proporción de oro.

poema de Rafael Alberti

Tanto en arquitectura como en el Arte, las personas se han preguntado desde siempre cuáles son las proporciones que hacen que una obra sea más armónica a la vista. Tomando elrectángulo como una de las figuras que se encuentra con mayor frecuencia en construcciones (fachadas de edificios, puertas, ventanas, cuadros, espejos, etc.), nos preguntamos: ¿qué relación debe haber entre la base y la altura de esta figura para que sea lo más armoniosa posible a la vista?

El gusto es subjetivo, pero basándonos en la opinión de los griegos de la época clásica parece que el rectángulo áureo, podría ser el más proporcionado.
¿Y cómo reconocer un rectángulo áureo si no hemos sido presentados? No, un rectangulito de papel de oro no lo es. La definición precisa es la que dice que un

Rectángulo áureo es aquél que posee la siguiente, curiosa, propiedad: si se le quita un cuadrado -el mayor posible- se obtiene otro rectángulo semejante al primero.

Que sea semejante quiere decir que hay una proporción entre los viejos lados y los nuevos lados…

Mirando fuertemente las dos figuras de arriba salta a la vista, como un ladrón a una ancianita, que ( x – 1) / 1 = 1 / x…

Volviendo a la secundaria y tratando de despejar la incógnita x, nos encontramos con una solución negativa y una solución positiva. A esta última se la conoce como el Número de Oro

Solución:

¿Por qué nombrarlo así, y ponerle esa letra griega Φ ( Fi )? Porque el número de oro también es conocido como número de Fidias, ya que fue este escultor griego quien lo empleó para diseñar El Partenón.

El tema es importante, no sólo porque este famoso muchacho lo haya usado para organizar sus diseños, sino porque parece estar en todas partes. Es UBICUO !!!!!

El número áureo o la proporción áurea se estudió desde la antigüedad, ya que aparece regularmente en geometría. Se conoce ya de su existencia en los pentágonos regulares y pentáculos de las tabletas sumerias de alrededor del 3200 a. C.

Pitágoras y el número de oro

Pitágoras (c. 582-c. 500 a.C.), filósofo y matemático griego, nació en la isla de Samos.Fue instruido en las enseñanzas de los primeros filósofos jonios Tales de Mileto, Anaximandro y Anaxímenes. Se dice que Pitágoras había sido condenado a exiliarse de Samos por su aversión a la tiranía de Polícrates. Hacia el 530 a.C. se instaló en Crotona, una colonia griega al sur de Italia, donde fundó un movimiento con propósitos religiosos, políticos y filosóficos, conocido como pitagorismo. La filosofía de Pitágoras se conoce sólo a través de la obra de sus discípulos.

Los pitagóricos supusieron ciertos misterios, similares en muchos puntos a los enigmas del orfismo. Aconsejaban la obediencia y el silencio, la abstinencia de consumir alimentos, la sencillez en el vestir y en las posesiones, y el hábito del autoanálisis. Los pitagóricos creían en la inmortalidad y en la trasmigración del alma. Se dice que el propio Pitágorasproclamaba que él había sido Euphorbus, y combatido durante la guerra de Troya, y que le había sido permitido traer a su vida terrenal la memoria de todas sus existencias previas.

Entre las amplias investigaciones matemáticas realizadas por los pitagóricos se encuentran sus estudios de los números pares e impares y de los números primos y de los cuadrados, esenciales en la teoría de los números. Desde este punto de vista aritmético, cultivaron el concepto de número, que llegó a ser para ellos el principio crucial de toda proporción, orden y armonía en el universo. A través de estos estudios, establecieron una base científica para las matemáticas. En geometría el gran descubrimiento de la escuela fue el teorema de la hipotenusa, conocido como teorema de Pitágoras, que establece que el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados.

Una revuelta provocada en Crotona, por una asociación de ideas contrarias a las pitagóricas, terminó con el incendio de la sede. Se cree que Pitágoras se vio obligado a huir de Crotona y murió en Metaponto. La persecución de los pitagóricos provocó el éxodo a la Grecia Continental, dando lugar a la difusión de las ideas pitagóricas.

La estrella pentagonal o pentágono estrellado era, según la tradición, el símbolo de los seguidores de Pitágoras. Los pitagóricos pensaban que el mundo estaba configurado según un orden numérico, donde sólo tenían cabida los números fraccionarios. La casualidad hizo que en su propio símbolo se encontrara un número raro: el numero de oro.

Por ejemplo, la relación entre la diagonal del pentágono y su lado es el número de oro.

El número de oro en el arte, el diseño y la naturaleza

El número áureo aparece, en las proporciones que guardan edificios, esculturas, objetos, partes de nuestro cuerpo, …Un ejemplo de rectángulo áureo en el arte es el alzado del Partenón griego.

En la figura se puede comprobar que AB/CD=. Hay más cocientes entre sus medidas que dan el número áureo, por ejemplo: AC/AD= y CD/CA=.

Hay un precedente a la cultura griega donde también apareció el número de oro. En La Gran Pirámide de Keops, el cociente entre la altura de uno de los tres triángulos que forman la pirámide y el lado es 2.

Ya vimos que el cociente entre la diagonal de un pentágono regular y el lado de dicho pentágono es el número áureo. En un pentágono regular está basada la construcción de la Tumba Rupestre de Mira en Asia Menor.

Ejemplos de rectángulos áureos los podemos encontrar en las tarjetas de crédito, en nuestro carnet de identidad y también en las cajetillas de tabaco.

Unas proporciones armoniosas para el cuerpo, que estudiaron antes los griegos y romanos, las plasmó en este dibujo Leonardo da Vinci. Sirvió para ilustrar el libro La Divina Proporción de Luca Pacioli editado en 1509.

En dicho libro se describen cuales han de ser las proporciones de las construcciones artísticas. En particular,Pacioli propone un hombre perfecto en el que las relaciones entre las distintas partes de su cuerpo sean proporciones áureas. Estirando manos y pies y haciendo centro en el ombligo se dibuja la circunferencia. El cuadrado tiene por lado la altura del cuerpo que coincide, en un cuerpo armonioso, con la longitud entre los extremos de los dedos de ambas manos cuando los brazos están extendidos y formando un ángulo de 90º con el tronco. Resulta que el cociente entre la altura del hombre (lado del cuadrado) y la distancia del ombligo a la punta de la mano (radio de la circunferencia) es el número áureo.

El cuadro de Dalí Leda atómica, pintado en 1949, sintetiza siglos de tradición matemática y simbólica, especialmente pitagórica. Se trata de una filigrana basada en la proporción áurea, pero elaborada de tal forma que no es evidente para el espectador. En el boceto de 1947 se advierte la meticulosidad del análisis geométrico realizado por Dalí basado en el pentagrama místico pitagórico.

Los artistas de Renacimiento utilizaron la sección áurea en múltiples ocasiones tanto en pintura, escultura como arquitectura para lograr el equilibrio y la belleza. Leonardo da Vinci, por ejemplo, la utilizó para definir todas las proporciones fundamentales en su pintura La última cena, desde las dimensiones de la mesa, hasta la disposición de Cristo y los discípulos sentados, así como las proporciones de las paredes y ventanas al fondo.

Leonardo da Vinci, en su cuadro de la Gioconda (o Mona Lisa) utilizó rectángulos áureos para plasmar el rostro de Mona Lisa. Se pueden localizar muchos detalles de su rostro, empezando porque el mismo rostro se encuadra en un rectángulo áureo.

El astrónomo Johannes Kepler (1571-1630), descubridor de la naturaleza elíptica de las órbitas de los planetas alrededor del Sol, mencionó también la divina proporción: “La geometría tiene dos grandes tesoros: uno es el teorema de Pitágoras; el otro, la división de una línea entre el extremo y su proporcional. El primero lo podemos comparar a una medida de oro; el segundo lo debemos denominar una joya preciosa”. Y, creyente como era dijo: “no cabe duda de que Dios es un gran matemático”

Hoy en día la sección áurea se puede ver en multitud de diseños. El más conocido y difundido sería la medida de las tarjetas de crédito, la cual también sigue dicho patrón, así como nuestro carné de identidad y también en las cajetillas de cigarrillos.

En la arquitectura moderna sigue usándose; por ejemplo, está presente en el conocido edificio de la ONU en Nueva York, el cual no es más que un gran prisma rectangular cuya cara mayor sigue las citadas proporciones

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La sección áurea en la naturaleza

En la naturaleza, hay muchos elementos relacionados con la sección áurea:

• Según el propio Leonardo de Pisa Fibonacci, en su Libro de los ábacos, la secuencia puede ayudar a calcular casi perfectamente el número de pares de conejos n meses después de que una primera pareja comienza a reproducirse (suponiendo que los conejos se empiezan a reproducir cuando tienen dos meses de edad).
• La relación entre la cantidad de abejas macho y abejas hembra en un panal.
• La relación entre la distancia entre las espiras del interior espiralado de cualquiercaracol (no sólo del nautilus)
• La relación entre los lados de un pentáculo
• La relación entre los lados de un pentágono.
• La disposición de los pétalos de las flores (el papel del número áureo en la botánicarecibe el nombre de Ley de Ludwig).
• La distribución de las hojas en un tallo
• La relación entre las nervaduras de las hojas de los árboles
• La relación entre el grosor de las ramas principales y el tronco, o entre las ramas principales y las secundarias (el grosor de una equivale a Φ tomando como unidad la rama superior).
• La distancia entre las espirales de una piña.
• La Anatomía de los humanos se basa en una relación Phi exacta, así vemos que:
• La relación entre la altura de un ser humano y la altura de su ombligo.
• La relación entre la distancia del hombro a los dedos y la distancia del codo a los dedos.
• La relación entre la altura de la cadera y la altura de la rodilla.
• La relación entre el primer hueso de los dedos (metacarpiano) y la primera falange, o entre la primera y la segunda, o entre la segunda y la tercera, si dividimos todo es phi.
• La relación entre el diametro de la boca y el de la nariz
• Es phi la relación entre el diámetro externo de los ojos y la línea inter-pupilar
• Cuando la tráquea se divide en sus bronquios, si se mide el diámetro de los bronquios por el de la tráquea se obtiene phi, o el de la aorta con sus dos ramas terminales (ilíacas primitivas).
• Está comprobado que la mayor cantidad de números phi en el cuerpo y el rostro hacen que la mayoría de las personas reconozcan a esos individuos como lindos, bellos y proporcionados. Si se miden los números phi de una población determinada y se la compara con una población de modelos publicitarios, estos últimos resultan acercarse más al número phi.

En el video se puede ver la relación con la sucesión de Fibonacci, con las espirales logarítmicas y los agujeros negros

El número áureo en la Música

Es necesario aclarar que cuando se menciona al número áureo en una realización artística de cualquier naturaleza no se está haciendo mención al número áureo de los matemáticos, un irracional con infinitos decimales, sino a una aproximación racional adecuada a las circunstancias o a un dibujo hecho con regla no graduada de un solo borde y longitud indefinida y un compás de abertura fija o variable.

Generalmente se utilizan cocientes de números pertenecientes a la sucesión de Fibonacci que dan valores aproximados, alternativamente por defecto o por exceso, según la necesidad o la sensibilidad humana y hasta la capacidad de separación tonal de cada instrumento.

Un violín, por ejemplo, puede separar hasta un tercio de tono.

El oído humano sano y entrenado distingue hasta trescientos sonidos por octava. Como un ejemplo conocido y no discutido tenemos a la escala atemperada o templada. Esta es una escala logarítmica. Se creó muy poco tiempo después de que los logaritmos pasaran al patrimonio de la matemática. La octava atemperada está basada en . Este número irracional tiene infinitos decimales, pero la afinación se hace redondeando las cifras de las frecuencias a uno o dos decimales. De cualquier manera, el error tonal total cometido no es superior al doceavo de tono y el oído humano no lo nota. La uniformidad de la separación de las notas y la coincidencia de bemoles y sostenidos permite comenzar una melodía por cualquier nota sin que se produzcan las desagradables disonancias de la escala diatónica y laescala física. De la misma manera se actúa con la distribución de tiempos o la altura de los tonos usando el número áureo; con una aproximación racional que resulte práctica. Existen numerosos estudios al respecto, principalmente de la Universidad de Cambridge.

• Autores como Bártok, Messiaen y Stockhausen, entre otros, compusieron obras cuyas unidades formales se relacionan (a propósito) con la sección áurea.

• El compositor mexicano Silvestre Revueltas (1899-1945) utilizó también el número áureo en su obra Alcancías, para organizar las partes (unidades formales).

• El grupo de rock progresivo norteamericano Tool, en su disco Lateralus (2001) hacen múltiples referencias al número áureo y a la sucesión de Fibonacci, sobre todo en la canción que da nombre al disco, pues los versos de la misma están cantados de forma que el número de sílabas pronunciadas en cada uno van componiendo dicha secuencia. Además la voz entra en el minuto 1:37, que pasado al sistema decimal coincide muy aproximadamente con el número áureo.

• Zeysing notó la presencia de los números 3, 5, 8 y 13, de la Sucesión de Fibonacci, en el cálculo de los intervalos aferentes a los dos tipos de acordes perfectos. Los dos tonos del acorde mayor final, mi y do por ejemplo (la sexta menor o tercia mayor invertida en do mayor), están entre sí en la razón cinco octavos. Los dos tonos del acorde menor final, por ejemplo, mi bemol y do (sexta mayor o tercia transpuesta en do menor) dan la razón tres quintos.

y ahora ¡¡¡¡¡ A JUGAR !!!!!

Gracias a la geometría encontramos el número Phi en todas parte. Veamos

Phi a partir de un cuadrado y rectángulo áureo

Para obtener el numero áureo en un cuadrado se traza un arco que tenga por centro el punto medio de un de sus lados y su diámetro alcance el vértice del lado opuesto y desde ese punto se lleva el arco hasta su intersección con prolongación del primer lado elegido obteniendo un segmento que llamamos Phi. La relación entre Phi y un lado del cuadrado es el número áureo.

Partiendo de un cuadrado que mida dos de lado, el segmento Phi (Φ) mide 1 + el diámetro del arco. Según Pitágoras en un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es la suma de los cuadrados de los catetos.

2² + 1² = 5 –> la hipotenusa es igual a √5.

Al que sumo 1 para completar el segmento y obtengo el valor de phi para dos, por lo tanto lo divido por dos.

(√5 + 1) ÷ 2 = 1,618034…

Phi a partir de triángulo rectángulo

Se dibuja un triángulo Rectángulo ABC con el ángulo recto en la esquina A. El segmento BC es la hipotenusa de este triángulo. El cateto AB mide 2 y el cateto AC mide 1. Trazamos una prolongación de la hipotenusa en dirección B->C hasta que se cruza con el arco de centro C y con un radio que alcanza el punto A. El punto donde se intersecan la prolongación de la hipotenusa y el arco anteriormente mencionado es el punto E.

Se traza dos arcos, un con centro en B y radio que alcanza A (AB=2 -> radio=2) y otro con centro en E y radio de 2. Se traza una línea que pase por los dos puntos donde se intersecan los dos arcos anteriores. Esta línea cruza la hipotenusa del triangulo en el punto D.

Los dos segmentos BD Y ED miden exactamente el valor de Phi y CD es igual a Φ/1.

Phi en un cuadrado inscrito en un semicírculo

Se dibuja un circulo partido por su diametro (color verde). Dentro de este semicírculo se inscribe un cuadrado ABCD que tiene uno de sus lados (CD) sobre el diametro del semicírculo y sus otras dos esquinas (A y B) que intersequen con el mismo semicírculo.

Si la longitud de la linea CD es igual a 1, CE es igual a Phi.

Phi a partir de círculos concéntricos

Se traza dos círculos (color verde) con el mismo centro Oa, uno con un diámetro de 1 y el otro con un diámetro de 2. Dicho de otra manera: dos círculos concéntricos en los que el diámetro de uno de ellos sea el doble del otro.

Se desplaza estos dos círculos cambiando su centro desde Oa a Ob, Ob debe situarse en el primer círculo pequeño (color verde). Ahora tenemos dos círculos concéntricos (color verde) + otros dos círculos concéntricos (color morado).

Los dos círculos de diámetro pequeño se intersecan en dos puntos A y B. Los dos círculos de diámetro grande también se intersecan en dos puntos siendo C uno de ellos. Si dividimos la medida del segmento AC por la medida del segmento AB obtenemos Φ.

Phi a partir de un pentágono

En el primer pentágono ABCDE, trazo una línea AD y otra BE que se cruzan en F, si BF es igual a uno BE es igual a Phi.

En el segundo pentágono ABCDE trazo líneas desde cada esquina hasta sus dos esquinas opuestas obteniendo otro pentágono FGHIJ. Si AG es igual a 1, AB es igual a phi y FG al inverso de Phi: 1/Φ.

Phi a partir de un triángulo isósceles inscrito en un círculo

En la siguiente tabla dividiendo el valor de arriba por el de abajo el resultado es Phi:

FG	AB	FB	CB	FH	AF	Arco AB
FE	AK	FJ	CM	ON	AI	Arco AG
Φ	Φ	Φ	Φ	Φ	Φ	Φ

Se dibuja un triángulo isósceles ABC inscrito en un círculo. Los centros de los lados del triángulo son DEF. Se traza una línea que pasa por el centro de dos lados del triángulo llevándola hasta el círculo en el punto G. Si la medida FE es uno, FG es phi.

En el siguiente dibujo, trazo una línea desde C hasta G y otra de B hasta F y tienen la intersección en H.

La línea CG cruza AB en K. Desde K trazo otra línea paralela a FB que cruza FG en L y llega hasta la línea AC en I.

Perpendicularmente a IK trazo una línea que cruza FB en J y va hasta la línea CB en M.

Desde M trazo una línea paralela a IK que cruza CG en N y llega hasta AC en el punto O.

Phi a partir de tres círculos y un triángulo rectángulo

Se dibuja 3 círculos de diámetro 1 que se intersecan sobre la misma línea (CB). El primer círculo se interseca en un solo punto con el segundo y este también se interseca en un punto con el tercero.

El punto de intersección del primer círculo con la línea es C y con el tercer círculo es B. Se saca una línea perpendicular al segmento BC desde el punto C hasta el punto A que es la intersección con el primer círculo. Acabamos de dibujar un triángulo ABC.

AB se interseca con el segundo círculo en dos puntos D y E. DE es el diámetro del segundo círculo por lo tanto mide 1. AC es el diámetro del primer círculo consiguientemente mide 1. BC mide el diámetro del segundo círculo más la mitad del primero y la mitad del tercero que es igual a 1+ 0,5 + 0,5= 2. AB es la hipotenusa del triángulo rectángulo y según Pitágoras en un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es la suma de los cuadrados de los catetos:

2² + 1² = 5 –> la hipotenusa es igual a v5.

Recapitulemos:
AB= √5
BC= 2
CA= 1
DE= 1
Ahora vamos a ver donde se encuentra Phi:
AE = BD = (√5 – 1) / 2 + 1 = (√5 + 1) / 2 = 1,618034… (Phi)
AD = BE = (√5 – 1) / 2 + 1 = 0,618034… ( 1/Phi)